אברהם לייב זילברמן היה בנו של דב זילברמן ונכדו שלרבי רפאל (רפול) זילברמן. כאשר היה ארבהם לייב בן 4 שנים בלבד טבע אביו בנחל עמוד כאשר רכב מצפת לטבריה. אברהם לייב גדל אצל סבו רפול זילברמן.

 אברהם לייב התחתן עם ביתו של הרב שמואל הלר. לאחר חתונתו שהתקיימה בצפת נסע האברך המעיר במצוות סבו לשטפינשט, לחיות תחת הדרכתו של השטפינשטר שהיה גם קרוב משפחה של משפחת זילברמן.

 בגיל 28, עם פטירתו של רפול זילברמן, התמנה אבהם לייב לרב העיר. אברהם לייב זילברמן היה הרב הראשי בצפת לשתי הקהילות, האשכנזית והספרדית. הוא הצליח במשימה זו למרות העובדה שבצפת היו עשרות רבנים עם חסידים לכל אחד. מסורת זו של רב אחד נמשכה עד לפטירתו של הרב קפלן שהיה חתנו. כיום הצפת שוב שני רבנים: אחד אשכנזי ואחד ספרדי.

 אברהם לייב, שהיה בן דודו של משה פדהצור, היה מאד פעיל בעניני העיר ביחד עם משה פדהצור ובתקופה מאד קשה לעם ישראל.

 הוא נתן אישור לעלות לביריה בשבת על מנת להגן עליה. קרא ליהוי צפת לתרום “ממיטב כספם וזהבם למען קרן גאולת אדמות ארץ ישראל”, ספד לעולי הגרדום שנקברו בצפת.

 בל”ג בעומר 1945 התכנסו היהודים בהר מירון להדלקה המסורתית. אברהם לייב זילברמן היה המדליק הקבוע מטעם הרבי מבויאן אבל משום מה לא היה ירח בשמים ובלי ירח מלא לא מדליקים. עומדים ומחכים והשעה כבר 9 בערב ועדיין אין ירח. האיצו האנשים באברהם לייב להדליק אבל מקובל שעמד לידו אמר לו לא להילחץ. בשעה 9:50 הגיעה הידיעה שהיטלר התאבד בברלין ומספר דקות לאחר מכן יצא הירח והמדורה הודלקה.

 אברהם לייב נפטר בשנת תש”ח והוא רק בן 58. את מקומו ברבנות לקח חתנו הרב קפלן.